СОПРОМАТ · БЕСПЛАТНЫЙ РАЗБОР
Балка под равномерной нагрузкой: реакции и эпюры Q и M
Возьмём балку длиной 6 м на шарнирной и подвижной опорах. По всему пролёту действует нагрузка q = 4 кН/м вниз. Найдём реакции, затем поперечную силу Q и изгибающий момент M в произвольном сечении. Пример показывает усилия для учебной схемы; прочность и подбор сечения здесь не проверяются.
1. Замените нагрузку равнодействующей
Суммарная сила равна qL = 4 × 6 = 24 кН. Она приложена в середине пролёта, на расстоянии 3 м от A. Из симметрии реакции одинаковы: RA = RB = 12 кН. Проверка по моментам относительно A: RB × 6 − 24 × 3 = 0.
2. Запишите Q(x)
Отсечём часть балки длиной x слева, где 0 ≤ x ≤ 6 м. Распределённая нагрузка на этой части даёт силу qx вниз. При соглашении «вверх слева — положительная Q» получаем:
Q(0+) = +12 кН; Q(3) = 0; Q(6−) = −12 кН.
Поэтому эпюра Q — наклонная прямая. На правой опоре реакция +12 кН возвращает её к нулю.
3. Запишите M(x) и найдите максимум
Равнодействующая нагрузки на участке x приложена на расстоянии x/2 от сечения. Положительный изгибающий момент, растягивающий нижние волокна, равен:
M(0) = M(6) = 0; M(3) = 18 кН·м.
Так как Q(x) = dM/dx, вершина эпюры M находится там, где Q = 0: посередине балки, x = 3 м. Для любой такой двухопорной балки под нагрузкой по всему пролёту Mmax = qL²/8.
| x, м | Q, кН | M, кН·м |
|---|---|---|
| 0+ | +12 | 0 |
| 1,5 | +6 | 13,5 |
| 3 | 0 | 18 |
| 4,5 | −6 | 13,5 |
| 6− | −12 | 0 |
Проверьте результат
- Сумма вертикальных сил: 12 + 12 − 24 = 0.
- Моменты на обеих шарнирных опорах равны нулю.
- Площадь под Q от 0 до 3 м равна 18 кН·м — столько же, сколько максимальный M.
Измените нагрузку или длину в интерактивной балке и проверьте, как изменятся эпюры. Можно выбрать сечение и самостоятельно рассчитать qL, реакции и максимум M. Схема этого примера также задана в редакторе; реакции и эпюры доступны в бесплатном просмотре. Полный ход решения собственной новой схемы расходует один расчёт с баланса, условия указаны на главной.
Открыть балку 6 м в редакторе →Для сосредоточенной силы вместо распределённой нагрузки смотрите разбор скачка Q под силой.