СОПРОМАТ · ДВЕ ЗАДЕЛКИ · РАВНОМЕРНАЯ q

Балка с двумя заделками: почему прогиб меньше?

Балка длиной L = 6 м закреплена на обоих концах: поворот и вертикальное перемещение запрещены. По всему пролёту действует q = 4 кН/м вниз. Модуль упругости E = 200 ГПа, момент инерции I = 8 000 см⁴. Найдём реакции, внутренние моменты и прогиб.

q = 4 кН/мL = 6 м

1. Реакции и изгибающие моменты

Из симметрии каждая опора воспринимает половину вертикальной нагрузки: RA = RB = qL/2 = 12 кН. В отличие от шарнирного опирания, заделки воспринимают также моменты.

M(0) = M(L) = −qL²/12 = −12 кН·м.
M(L/2) = +qL²/24 = +6 кН·м.
M(x) = −12 + 12x − 2x², кН·м; 0 ≤ x ≤ 6 м.

Здесь положительный M растягивает нижние волокна. На опорах он отрицательный, в середине — положительный. Наибольший по модулю момент равен 12 кН·м и находится на опорах. Это значение показывает калькулятор как |M|max.

2. Жёсткость EI и перевод единиц

E = 200 × 10⁹ Н/м².
I = 8 000 × 10⁻⁸ = 0,00008 м⁴.
EI = 16 000 000 Н·м²; q = 4 000 Н/м.

В формулу нельзя одновременно подставлять I в см⁴ и длину в метрах без перевода. Калькулятор переводит исходные величины в согласованные единицы.

3. Максимальный прогиб

fmax = qL⁴/(384EI)
= 4 000 × 6⁴ / (384 × 16 000 000)
= 0,00084375 м = 0,84375 мм.

Прогиб направлен вниз; максимум находится в середине пролёта. При той же нагрузке, длине и EI шарнирно опёртая балка имеет прогиб 5qL⁴/(384EI) = 4,21875 мм — в пять раз больше.

4. Проверьте граничные условия

y(x) = qx²(L − x)²/(24EI), положительное y — вниз.
y(0) = y(L) = 0.
y′(0) = y′(L) = 0.
RA + RB − qL = 12 + 12 − 24 = 0.

Множители x² и (L − x)² обеспечивают нулевые прогиб и поворот на обоих концах. Формула относится к линейной теории Эйлера — Бернулли: постоянная жёсткость EI, малые перемещения, идеальные заделки, нагрузка по всему пролёту. Податливость соединений и деформация сдвига здесь не учитываются.

Открыть эти данные в калькуляторе

Измените I и сравните прогиб. Для другой системы опор или нескольких нагрузок используйте редактор неопределимых схем. Готовые примеры бесплатны; полный расчёт своей новой схемы расходует один кредит — условия и стоимость.

Справочные схемы: таблицы расчёта балок, Duke University (PDF). Здесь приведён числовой пример и проверка граничных условий.

Обсудите пример с группой

Нужен другой расчёт? Предложите схему.