EPURALAB · УЧЕБНОЕ РЕШЕНИЕ
Балка с заделкой и дополнительной опорой
Метод перемещений · линейно-упругая постановка
1. Исходные данные и знаки
x →, y ↑, положительные внешние моменты — против часовой стрелки. M отложен на растянутом волокне. Координаты — м, силы — кН, моменты — кН·м. Степень статической неопределимости n = 1; независимых узловых перемещений — 2.
| Стержень | Узлы | L, м | EA, кН | EI, кН·м² |
|---|---|---|---|---|
| e0 | n0 → n1 | 6 | 2000000 | 20000 |
2. Основная система и неизвестные
Все вычисления выполняются без округления; округляется только печатная выдача. Учитываются изгибные и продольные деформации: ∫MiMj/EI + ∫NiNj/EA. Сдвиговые деформации не учитываются.
| Обозначение | Физический смысл | Единица |
|---|---|---|
| Z1 | 1·ux(n1) + -6.12323e-17·uy(n1) | м |
| Z2 | 1·θ(n1) | рад |
3. Связь моментов с перемещениями
ψ = (vᵦ − vₐ)/L. Узловые повороты и концевые моменты положительны против часовой стрелки. Знаки могут отличаться от пособий, где на каждом конце принят свой положительный момент.
| Стержень | Соотношение | ψ, рад | Ma⁰; Mb⁰, кН·м |
|---|---|---|---|
| e0 | Ma = 2EI/L·(2θa + θb − 3ψ) + Ma⁰; Mb = 2EI/L·(θa + 2θb − 3ψ) + Mb⁰ | -8.43615e-39 | 6; -6 |
5. Канонические уравнения и решение
ΣrᵢⱼZⱼ + RᵢP = 0
(2.04108e-13)·Z1 + (13333,33)·Z2 + (-6) = 0
| Уравнение | Z1 | Z2 | RᵢP |
|---|---|---|---|
| 1 | 333333,3 | 2.04108e-13 | -3.67394e-16 |
| 2 | 2.04108e-13 | 13333,33 | -6 |
| Неизвестное | Значение | Единица |
|---|---|---|
| Z1 | 8.26637e-22 | м |
| Z2 | 0,00045 | рад |
6. Реакции и окончательные эпюры
| Опора | Узел | Компонента | Значение |
|---|---|---|---|
| s0 | n0 | Rx | -2.75546e-16 кН |
| s0 | n0 | Ry | 7,5 кН |
| s0 | n0 | M | 9 кН·м |
| s1 | n1 | R | 4,5 кН |
7. Перемещения и контроль
| Узел | ux, м | uy, м | θ, рад |
|---|---|---|---|
| n0 | 0 | 0 | 0 |
| n1 | 8.26637e-22 | -5.06169e-38 | 0,00045 |
| Проверка | Невязка | Результат |
|---|---|---|
| Равновесие свободных степеней свободы | 8.88178e-16 | Пройдена |
| Совместность деформаций | 5.42101e-20 | Пройдена |
| Опорные перемещения | 0 | Пройдена |
| Узловое равновесие | 8.88178e-16 | Пройдена |
| Стержень e0: равновесие | 8.88178e-16 | Пройдена |
| Стержень e0: перемещения концов | 5.42101e-20 | Пройдена |
| ΣFx, ΣFy, ΣM | 0 | Пройдена |
Линейная теория первого порядка; без сдвиговых деформаций, потери устойчивости, пластичности, температуры и осадок.
Методические ориентиры: F. Udoeyo: метод сил; метод перемещений. Схемы и вычисления сформированы этим модулем.