EPURALAB · УЧЕБНОЕ РЕШЕНИЕ
Рама с двумя заделками и боковой силой
Метод сил · основная система с удалёнными опорами
1. Исходные данные и знаки
x →, y ↑, положительные внешние моменты — против часовой стрелки. M отложен на растянутом волокне. Координаты — м, силы — кН, моменты — кН·м. Степень статической неопределимости n = 3; независимых узловых перемещений — 6.
| Стержень | Узлы | L, м | EA, кН | EI, кН·м² |
|---|---|---|---|---|
| AB | A → B | 3 | 2000000 | 20000 |
| BC | B → C | 4 | 2000000 | 20000 |
| CD | C → D | 3 | 2000000 | 20000 |
2. Основная система и неизвестные
Все вычисления выполняются без округления; округляется только печатная выдача. Учитываются изгибные и продольные деформации: ∫MiMj/EI + ∫NiNj/EA. Сдвиговые деформации не учитываются.
| Обозначение | Физический смысл | Единица |
|---|---|---|
| X1 | Rx опоры S2 в узле D | кН |
| X2 | Ry опоры S2 в узле D | кН |
| X3 | M опоры S2 в узле D | кН·м |
В показанной основной системе сняты опоры: S2. Неизвестные действуют в узлах снятых связей: Rx вправо, Ry вверх, M против часовой стрелки; R вдоль заданного направления подвижной опоры.
3. Грузовая и единичные эпюры
Грузовое состояние MP
X1 = 1 кН: единичная схема и эпюры
X2 = 1 кН: единичная схема и эпюры
X3 = 1 кН·м: единичная схема и эпюры
4. Коэффициенты канонических уравнений
δᵢⱼ = Σ ∫₀ᴸ (MᵢMⱼ/EI + NᵢNⱼ/EA) ds
ΔᵢP = Σ ∫₀ᴸ (MᵢMP/EI + NᵢNP/EA) ds
Произведения полиномов интегрируются точно по длине каждого стержня. Единичные эпюры нормированы на 1 кН или 1 кН·м; размерность коэффициента определяется соответствующими неизвестными.
| Коэффициент | Стержень | Изгиб | Растяжение/сжатие | Сумма |
|---|---|---|---|---|
| δ11 | AB | 0,00045 | 1.02409e-32 | 0,00045 |
| δ11 | BC | 0,0018 | 2.00000e-6 | 0,001802 |
| δ11 | CD | 0,00045 | 0 | 0,00045 |
| δ12 | AB | 0,0009 | -1.23941e-19 | 0,0009 |
| δ12 | BC | 0,0012 | 1.08420e-19 | 0,0012 |
| δ12 | CD | -1.30104e-18 | 0 | -1.30104e-18 |
| δ13 | AB | 0,000225 | 4.98913e-33 | 0,000225 |
| δ13 | BC | 0,0006 | 5.42101e-20 | 0,0006 |
| δ13 | CD | 0,000225 | 0 | 0,000225 |
| δ22 | AB | 0,0024 | 1.50000e-6 | 0,0024015 |
| δ22 | BC | 0,00106667 | 5.87747e-33 | 0,00106667 |
| δ22 | CD | 5.01544e-33 | 1.50000e-6 | 1.50000e-6 |
| δ23 | AB | 0,0006 | -6.03813e-20 | 0,0006 |
| δ23 | BC | 0,0004 | 2.93874e-33 | 0,0004 |
| δ23 | CD | -4.33681e-19 | 0 | -4.33681e-19 |
| δ33 | AB | 0,00015 | 2.43060e-33 | 0,00015 |
| δ33 | BC | 0,0002 | 1.46937e-33 | 0,0002 |
| δ33 | CD | 0,00015 | 0 | 0,00015 |
| Δ1P | AB | -0,00495 | 9.91525e-19 | -0,00495 |
| Δ1P | BC | -0,0032 | 0 | -0,0032 |
| Δ1P | CD | 3.90313e-18 | 0 | 3.90313e-18 |
| Δ2P | AB | -0,015 | -1.20000e-5 | -0,015012 |
| Δ2P | BC | -0,0032 | 0 | -0,0032 |
| Δ2P | CD | -2.00618e-32 | 0 | -2.00618e-32 |
| Δ3P | AB | -0,00375 | 4.83051e-19 | -0,00375 |
| Δ3P | BC | -0,00106667 | 0 | -0,00106667 |
| Δ3P | CD | 4.33681e-19 | 0 | 4.33681e-19 |
5. Канонические уравнения и решение
ΣδᵢⱼXⱼ + ΔᵢP = 0
(0,0021)·X1 + (0,00346967)·X2 + (0,001)·X3 + (-0,018212) = 0
(0,00105)·X1 + (0,001)·X2 + (0,0005)·X3 + (-0,00481667) = 0
| Уравнение | X1 | X2 | X3 | ΔᵢP |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0,002702 | 0,0021 | 0,00105 | -0,00815 |
| 2 | 0,0021 | 0,00346967 | 0,001 | -0,018212 |
| 3 | 0,00105 | 0,001 | 0,0005 | -0,00481667 |
| Неизвестное | Значение | Единица |
|---|---|---|
| X1 | -3,953722 | кН |
| X2 | 5,837151 | кН |
| X3 | 6,261848 | кН·м |
6. Реакции и окончательные эпюры
M = MP + ΣXᵢMᵢ; Q = QP + ΣXᵢQᵢ; N = NP + ΣXᵢNᵢ
| Опора | Узел | Компонента | Значение |
|---|---|---|---|
| S1 | A | Rx | -2,046278 кН |
| S1 | A | Ry | 2,162849 кН |
| S1 | A | M | 4,389547 кН·м |
| S2 | D | Rx | -3,953722 кН |
| S2 | D | Ry | 5,837151 кН |
| S2 | D | M | 6,261848 кН·м |
7. Перемещения и контроль
| Узел | ux, м | uy, м | θ, рад |
|---|---|---|---|
| A | 0 | 0 | 0 |
| B | 0,00052724 | -3.24427e-6 | -0,00019802 |
| C | 0,00051933 | -8.75573e-6 | -4.96896e-5 |
| D | 0 | 0 | 0 |
| Проверка | Невязка | Результат |
|---|---|---|
| Равновесие свободных степеней свободы | 1.77636e-15 | Пройдена |
| Совместность деформаций | 2.31071e-18 | Пройдена |
| Опорные перемещения | 0 | Пройдена |
| Узловое равновесие | 1.77636e-15 | Пройдена |
| Стержень AB: равновесие | 8.88178e-16 | Пройдена |
| Стержень AB: перемещения концов | 5.42101e-20 | Пройдена |
| Стержень BC: равновесие | 8.88178e-16 | Пройдена |
| Стержень BC: перемещения концов | 2.71051e-20 | Пройдена |
| Стержень CD: равновесие | 8.88178e-16 | Пройдена |
| Стержень CD: перемещения концов | 2.31240e-18 | Пройдена |
| ΣFx, ΣFy, ΣM | 1.24345e-14 | Пройдена |
| Совместность по X1 | 1.73472e-18 | Пройдена |
| Совместность по X2 | 1.73472e-18 | Пройдена |
| Совместность по X3 | 1.73472e-18 | Пройдена |
| X: Rx опоры S2 в узле D | 1.37668e-14 | Пройдена |
| X: Ry опоры S2 в узле D | 2.48690e-14 | Пройдена |
| X: M опоры S2 в узле D | 1.77636e-15 | Пройдена |
| Восстановление N, Q, M по суперпозиции | 9.37028e-13 | Пройдена |
Линейная теория первого порядка; без сдвиговых деформаций, потери устойчивости, пластичности, температуры и осадок.
Методические ориентиры: F. Udoeyo: метод сил; метод перемещений. Схемы и вычисления сформированы этим модулем.