EPURALAB · УЧЕБНОЕ РЕШЕНИЕ
Балка с заделкой и дополнительной опорой
Метод сил · основная система с удалёнными опорами
1. Исходные данные и знаки
x →, y ↑, положительные внешние моменты — против часовой стрелки. M отложен на растянутом волокне. Координаты — м, силы — кН, моменты — кН·м. Степень статической неопределимости n = 1; независимых узловых перемещений — 2.
| Стержень | Узлы | L, м | EA, кН | EI, кН·м² |
|---|---|---|---|---|
| e0 | n0 → n1 | 6 | 2000000 | 20000 |
2. Основная система и неизвестные
Все вычисления выполняются без округления; округляется только печатная выдача. Учитываются изгибные и продольные деформации: ∫MiMj/EI + ∫NiNj/EA. Сдвиговые деформации не учитываются.
| Обозначение | Физический смысл | Единица |
|---|---|---|
| X1 | R опоры s1 в узле n1 | кН |
В показанной основной системе сняты опоры: s1. Неизвестные действуют в узлах снятых связей: Rx вправо, Ry вверх, M против часовой стрелки; R вдоль заданного направления подвижной опоры.
3. Грузовая и единичные эпюры
Грузовое состояние MP
X1 = 1 кН: единичная схема и эпюры
4. Коэффициенты канонических уравнений
δᵢⱼ = Σ ∫₀ᴸ (MᵢMⱼ/EI + NᵢNⱼ/EA) ds
ΔᵢP = Σ ∫₀ᴸ (MᵢMP/EI + NᵢNP/EA) ds
Произведения полиномов интегрируются точно по длине каждого стержня. Единичные эпюры нормированы на 1 кН или 1 кН·м; размерность коэффициента определяется соответствующими неизвестными.
| Коэффициент | Стержень | Изгиб | Растяжение/сжатие | Сумма |
|---|---|---|---|---|
| δ11 | e0 | 0,0036 | 1.12482e-38 | 0,0036 |
| Δ1P | e0 | -0,0162 | 0 | -0,0162 |
5. Канонические уравнения и решение
ΣδᵢⱼXⱼ + ΔᵢP = 0
| Уравнение | X1 | ΔᵢP |
|---|---|---|
| 1 | 0,0036 | -0,0162 |
| Неизвестное | Значение | Единица |
|---|---|---|
| X1 | 4,5 | кН |
6. Реакции и окончательные эпюры
M = MP + ΣXᵢMᵢ; Q = QP + ΣXᵢQᵢ; N = NP + ΣXᵢNᵢ
| Опора | Узел | Компонента | Значение |
|---|---|---|---|
| s0 | n0 | Rx | -2.75546e-16 кН |
| s0 | n0 | Ry | 7,5 кН |
| s0 | n0 | M | 9 кН·м |
| s1 | n1 | R | 4,5 кН |
7. Перемещения и контроль
| Узел | ux, м | uy, м | θ, рад |
|---|---|---|---|
| n0 | 0 | 0 | 0 |
| n1 | 8.26637e-22 | -5.06169e-38 | 0,00045 |
| Проверка | Невязка | Результат |
|---|---|---|
| Равновесие свободных степеней свободы | 0 | Пройдена |
| Совместность деформаций | 8.43615e-39 | Пройдена |
| Опорные перемещения | 0 | Пройдена |
| Узловое равновесие | 4.93038e-32 | Пройдена |
| Стержень e0: равновесие | 0 | Пройдена |
| Стержень e0: перемещения концов | 5.42101e-20 | Пройдена |
| ΣFx, ΣFy, ΣM | 4.93038e-32 | Пройдена |
| Совместность по X1 | 0 | Пройдена |
| X: R опоры s1 в узле n1 | 1.77636e-15 | Пройдена |
| Восстановление N, Q, M по суперпозиции | 3.55271e-15 | Пройдена |
Линейная теория первого порядка; без сдвиговых деформаций, потери устойчивости, пластичности, температуры и осадок.
Методические ориентиры: F. Udoeyo: метод сил; метод перемещений. Схемы и вычисления сформированы этим модулем.