EPURALAB · УЧЕБНОЕ РЕШЕНИЕ

Рама с двумя заделками и боковой силой

Метод перемещений · линейно-упругая постановка

1. Исходные данные и знаки

Расчётная схема

x →, y ↑, положительные внешние моменты — против часовой стрелки. M отложен на растянутом волокне. Координаты — м, силы — кН, моменты — кН·м. Степень статической неопределимости n = 3; независимых узловых перемещений — 6.

Стержень	Узлы	L, м	EA, кН	EI, кН·м²
AB	A → B	3	2000000	20000
BC	B → C	4	2000000	20000
CD	C → D	3	2000000	20000

2. Основная система и неизвестные

Все вычисления выполняются без округления; округляется только печатная выдача. Учитываются изгибные и продольные деформации: ∫MiMj/EI + ∫NiNj/EA. Сдвиговые деформации не учитываются.

Обозначение	Физический смысл	Единица
Z1	1·ux(B)	м
Z2	1·uy(B)	м
Z3	1·θ(B)	рад
Z4	1·ux(C)	м
Z5	1·uy(C)	м
Z6	1·θ(C)	рад

3. Связь моментов с перемещениями

ψ = (vᵦ − vₐ)/L. Узловые повороты и концевые моменты положительны против часовой стрелки. Знаки могут отличаться от пособий, где на каждом конце принят свой положительный момент.

Стержень	Соотношение	ψ, рад	Ma⁰; Mb⁰, кН·м
AB	Ma = 2EI/L·(2θa + θb − 3ψ) + Ma⁰; Mb = 2EI/L·(θa + 2θb − 3ψ) + Mb⁰	-0,00017575	0; 0
BC	Ma = 2EI/L·(2θa + θb − 3ψ) + Ma⁰; Mb = 2EI/L·(θa + 2θb − 3ψ) + Mb⁰	-1.37786e-6	2,666667; -2,666667
CD	Ma = 2EI/L·(2θa + θb − 3ψ) + Ma⁰; Mb = 2EI/L·(θa + 2θb − 3ψ) + Mb⁰	-0,00017311	0; 0

5. Канонические уравнения и решение

ΣrᵢⱼZⱼ + RᵢP = 0

(508888,9)·Z1 + (0)·Z2 + (13333,33)·Z3 + (-500000)·Z4 + (0)·Z5 + (0)·Z6 + (-6) = 0
(0)·Z1 + (670416,7)·Z2 + (7500)·Z3 + (0)·Z4 + (-3750)·Z5 + (7500)·Z6 + (4) = 0
(13333,33)·Z1 + (7500)·Z2 + (46666,67)·Z3 + (0)·Z4 + (-7500)·Z5 + (10000)·Z6 + (2,666667) = 0
(-500000)·Z1 + (0)·Z2 + (0)·Z3 + (508888,9)·Z4 + (0)·Z5 + (13333,33)·Z6 + (0) = 0
(0)·Z1 + (-3750)·Z2 + (-7500)·Z3 + (0)·Z4 + (670416,7)·Z5 + (-7500)·Z6 + (4) = 0
(0)·Z1 + (7500)·Z2 + (10000)·Z3 + (13333,33)·Z4 + (-7500)·Z5 + (46666,67)·Z6 + (-2,666667) = 0

Уравнение	Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	RᵢP
1	508888,9	0	13333,33	-500000	0	0	-6
2	0	670416,7	7500	0	-3750	7500	4
3	13333,33	7500	46666,67	0	-7500	10000	2,666667
4	-500000	0	0	508888,9	0	13333,33	0
5	0	-3750	-7500	0	670416,7	-7500	4
6	0	7500	10000	13333,33	-7500	46666,67	-2,666667

Неизвестное	Значение	Единица
Z1	0,00052724	м
Z2	-3.24427e-6	м
Z3	-0,00019802	рад
Z4	0,00051933	м
Z5	-8.75573e-6	м
Z6	-4.96896e-5	рад

6. Реакции и окончательные эпюры

Опора	Узел	Компонента	Значение
S1	A	Rx	-2,046278 кН
S1	A	Ry	2,162849 кН
S1	A	M	4,389547 кН·м
S2	D	Rx	-3,953722 кН
S2	D	Ry	5,837151 кН
S2	D	M	6,261848 кН·м

Расчётная схема

Эпюра N, кН

Эпюра Q, кН

Эпюра M, кН·м

7. Перемещения и контроль

Узел	ux, м	uy, м	θ, рад
A	0	0	0
B	0,00052724	-3.24427e-6	-0,00019802
C	0,00051933	-8.75573e-6	-4.96896e-5
D	0	0	0

Проверка	Невязка	Результат
Равновесие свободных степеней свободы	2.53131e-14	Пройдена
Совместность деформаций	8.13152e-20	Пройдена
Опорные перемещения	0	Пройдена
Узловое равновесие	2.53131e-14	Пройдена
Стержень AB: равновесие	4.44089e-16	Пройдена
Стержень AB: перемещения концов	1.08420e-19	Пройдена
Стержень BC: равновесие	0	Пройдена
Стержень BC: перемещения концов	1.35525e-19	Пройдена
Стержень CD: равновесие	8.88178e-16	Пройдена
Стержень CD: перемещения концов	9.48677e-20	Пройдена
ΣFx, ΣFy, ΣM	8.61533e-14	Пройдена

Линейная теория первого порядка; без сдвиговых деформаций, потери устойчивости, пластичности, температуры и осадок.

Методические ориентиры: F. Udoeyo: метод сил; метод перемещений. Схемы и вычисления сформированы этим модулем.