EPURALAB · УЧЕБНОЕ РЕШЕНИЕ
Рама с двумя заделками и боковой силой
Метод перемещений · линейно-упругая постановка
1. Исходные данные и знаки
x →, y ↑, положительные внешние моменты — против часовой стрелки. M отложен на растянутом волокне. Координаты — м, силы — кН, моменты — кН·м. Степень статической неопределимости n = 3; независимых узловых перемещений — 6.
| Стержень | Узлы | L, м | EA, кН | EI, кН·м² |
|---|---|---|---|---|
| AB | A → B | 3 | 2000000 | 20000 |
| BC | B → C | 4 | 2000000 | 20000 |
| CD | C → D | 3 | 2000000 | 20000 |
2. Основная система и неизвестные
Все вычисления выполняются без округления; округляется только печатная выдача. Учитываются изгибные и продольные деформации: ∫MiMj/EI + ∫NiNj/EA. Сдвиговые деформации не учитываются.
| Обозначение | Физический смысл | Единица |
|---|---|---|
| Z1 | 1·ux(B) | м |
| Z2 | 1·uy(B) | м |
| Z3 | 1·θ(B) | рад |
| Z4 | 1·ux(C) | м |
| Z5 | 1·uy(C) | м |
| Z6 | 1·θ(C) | рад |
3. Связь моментов с перемещениями
ψ = (vᵦ − vₐ)/L. Узловые повороты и концевые моменты положительны против часовой стрелки. Знаки могут отличаться от пособий, где на каждом конце принят свой положительный момент.
| Стержень | Соотношение | ψ, рад | Ma⁰; Mb⁰, кН·м |
|---|---|---|---|
| AB | Ma = 2EI/L·(2θa + θb − 3ψ) + Ma⁰; Mb = 2EI/L·(θa + 2θb − 3ψ) + Mb⁰ | -0,00017575 | 0; 0 |
| BC | Ma = 2EI/L·(2θa + θb − 3ψ) + Ma⁰; Mb = 2EI/L·(θa + 2θb − 3ψ) + Mb⁰ | -1.37786e-6 | 2,666667; -2,666667 |
| CD | Ma = 2EI/L·(2θa + θb − 3ψ) + Ma⁰; Mb = 2EI/L·(θa + 2θb − 3ψ) + Mb⁰ | -0,00017311 | 0; 0 |
5. Канонические уравнения и решение
ΣrᵢⱼZⱼ + RᵢP = 0
(0)·Z1 + (670416,7)·Z2 + (7500)·Z3 + (0)·Z4 + (-3750)·Z5 + (7500)·Z6 + (4) = 0
(13333,33)·Z1 + (7500)·Z2 + (46666,67)·Z3 + (0)·Z4 + (-7500)·Z5 + (10000)·Z6 + (2,666667) = 0
(-500000)·Z1 + (0)·Z2 + (0)·Z3 + (508888,9)·Z4 + (0)·Z5 + (13333,33)·Z6 + (0) = 0
(0)·Z1 + (-3750)·Z2 + (-7500)·Z3 + (0)·Z4 + (670416,7)·Z5 + (-7500)·Z6 + (4) = 0
(0)·Z1 + (7500)·Z2 + (10000)·Z3 + (13333,33)·Z4 + (-7500)·Z5 + (46666,67)·Z6 + (-2,666667) = 0
| Уравнение | Z1 | Z2 | Z3 | Z4 | Z5 | Z6 | RᵢP |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 508888,9 | 0 | 13333,33 | -500000 | 0 | 0 | -6 |
| 2 | 0 | 670416,7 | 7500 | 0 | -3750 | 7500 | 4 |
| 3 | 13333,33 | 7500 | 46666,67 | 0 | -7500 | 10000 | 2,666667 |
| 4 | -500000 | 0 | 0 | 508888,9 | 0 | 13333,33 | 0 |
| 5 | 0 | -3750 | -7500 | 0 | 670416,7 | -7500 | 4 |
| 6 | 0 | 7500 | 10000 | 13333,33 | -7500 | 46666,67 | -2,666667 |
| Неизвестное | Значение | Единица |
|---|---|---|
| Z1 | 0,00052724 | м |
| Z2 | -3.24427e-6 | м |
| Z3 | -0,00019802 | рад |
| Z4 | 0,00051933 | м |
| Z5 | -8.75573e-6 | м |
| Z6 | -4.96896e-5 | рад |
6. Реакции и окончательные эпюры
| Опора | Узел | Компонента | Значение |
|---|---|---|---|
| S1 | A | Rx | -2,046278 кН |
| S1 | A | Ry | 2,162849 кН |
| S1 | A | M | 4,389547 кН·м |
| S2 | D | Rx | -3,953722 кН |
| S2 | D | Ry | 5,837151 кН |
| S2 | D | M | 6,261848 кН·м |
7. Перемещения и контроль
| Узел | ux, м | uy, м | θ, рад |
|---|---|---|---|
| A | 0 | 0 | 0 |
| B | 0,00052724 | -3.24427e-6 | -0,00019802 |
| C | 0,00051933 | -8.75573e-6 | -4.96896e-5 |
| D | 0 | 0 | 0 |
| Проверка | Невязка | Результат |
|---|---|---|
| Равновесие свободных степеней свободы | 2.53131e-14 | Пройдена |
| Совместность деформаций | 8.13152e-20 | Пройдена |
| Опорные перемещения | 0 | Пройдена |
| Узловое равновесие | 2.53131e-14 | Пройдена |
| Стержень AB: равновесие | 4.44089e-16 | Пройдена |
| Стержень AB: перемещения концов | 1.08420e-19 | Пройдена |
| Стержень BC: равновесие | 0 | Пройдена |
| Стержень BC: перемещения концов | 1.35525e-19 | Пройдена |
| Стержень CD: равновесие | 8.88178e-16 | Пройдена |
| Стержень CD: перемещения концов | 9.48677e-20 | Пройдена |
| ΣFx, ΣFy, ΣM | 8.61533e-14 | Пройдена |
Линейная теория первого порядка; без сдвиговых деформаций, потери устойчивости, пластичности, температуры и осадок.
Методические ориентиры: F. Udoeyo: метод сил; метод перемещений. Схемы и вычисления сформированы этим модулем.